Las soluciones a las malas demostraciones:

Prueba 1:

“Cancelando b – a de ambos lados de la ecuacion” : Notese que como a=b, entonces b-a=0. Cancelar en este caso quiere decir dividir b-a en ambos lados, es decir, dividir entre cero, lo que no es posible.

Prueba 2:

“” : Esta es un poco más truculenta. Resulta que en los negativos no es posible partir la raíz de esa forma

Prueba 3:

“ (x veces)” : En los naturales esa ecuación si es cierta. Sin embargo, como funciones, la función de la derecha y la de la izquierda son distintas. La función de la derecha ni siquiera es derivable (pues sólo esta definida en los naturales) así que no es posible tomar su derivada.

Prueba 4:

Hay dos maneras de ver a la integral: Como antiderivada y como área bajo la curva de la gráfica.

Caso de la integral como antiderivada:

En este caso tanto como  representa un conjunto de soluciones y no un número. Por lo que cancelar integrales carece de sentido.

Caso de la integral como área:

En este caso hay que cambiar todas las por . Entonces, el 1 que aparece al final, en realidad es .

Realmente la solución de estos problemas es muy “técnica” por lo que evite detallarla mucho, en realidad sólo di la idea de por que estan mal.

Solución al problema de Rumpelstiltskin.

Un resumen del problema:

Hipótesis: Rumpelstiltskin sólo dice la verdad el mes de su cumpleaños.

Estas cuatro frases fueron dichas consecutivamente:

1) “No cumplo años en marzo, tampoco cumplo años en  junio y tampoco cumplo años diciembre”.
2) “Estamos en  julio o en septiembre o en noviembre”.
3) “Mi cumpleaños no es en febrero, tampoco es en agosto y tampoco es en octubre”.
4) “Estamos en enero, o en abril o en mayo”.

Vamos a ver que pasa en cada mes:

Supongamos que el cumpleaños es en enero.

Entonces como sólo un mes se cumple años se tiene que la frase 1) o la 3) (pues estas fueron dichas en 2 meses distintos) son falsas.
Que 1) sea falsa significa que o cumple años en marzo, o cumple en junio, o cumple en diciembre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en enero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a enero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Veamos que suponer 3) falsa es un simple copypasta de la frase anterior:
Que 3) sea falsa significa que o cumple años en febrero, o cumple en agosto, o cumple en octubre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en enero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a enero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Este argumento es bastante poderoso, pues podemos aplicar este mismo argumento a los meses de abril, mayo, julio, septiembre y noviembre (es decir los meses que no son mencionados ni en 1) ni en 3)) y obtendremos exactamente la misma contradicción.

Asi que ¿Qué pasa en febrero?

Si cuando dice 1) no es febrero, entonces 1) son puras mentiras, lo que quiere decir que o cumple años en marzo, o cumple en junio, o cumple en diciembre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en febrero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a febrero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Por tanto 1) debe ser dicho en febrero. Pero entonces 4) cae en mayo (pues fueron dichos en meses consecutivos), lo que implíca que también dice la verdad en mayo. Que diga la verdad en dos meses distintos es una contradicción, pues la hipótesis decía que Rumpelstiltskin sólo diría la verdad el mes que fuera su cumpleaños.

¿Qué pasa si suponemos que cumple años en marzo?

Del mismo modo, si cuando dice 3) no es en marzo, quiere decir que 3) son puras mentiras. Que 3) sea falsa significa que o cumple años en febrero, o cumple en agosto, o cumple en octubre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en marzo, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a marzo, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Lo que implíca que 3) tiene que ser dicho en marzo. Pero entonces 4) es abril y por tanto en 4) dice la verdad. Entonces hay dos meses en donde Rumpelstiltskin dice la verdad (marzo y abril) lo que es una contradicción.

Ya sabemos que ni abril ni mayo pueden ser.

¿Qué pasa en junio?

Del mismo modo que las anteriores, el enunciado 3) tiene que haber sido dicho en junio. Uno ve que la combinación que 3) haya sido dicha en junio es consistente, por lo que uno se vería tentado a responder junio como respuesta. Sin embargo hay que revisar que en todos los demás meses hay una contradicción.

Ya sabemos que julio no puede ser.

¿Qué pasa en agosto?

Por el argumento por el cual he hecho copypasta muchísimas veces, resulta que 1) tiene que ser dicho en agosto. Pero entonces 2) cae en septiembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Ya sabemos que septiembre no puede ser.

¿Qué pasa en octubre?

Del mismo modo, resulta que 1) tiene que ser dicho en octubre. Pero entonces 2) cae en noviembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Ya sabemos que noviembre tampoco puede ser.

¿Qué pasa en diciembre?

Por el mismo argumento repetido muchas veces, se tiene que 3) debe ser dicho en diciembre. Pero entonces 2) cae en noviembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Entonces ya vimos que en todos los meses, menos junio, hay contradicción. También vimos que en junio no hay contradicciones si suponemos 3). Por lo tanto, la respuesta correcta es junio.

Una función suprayectiva

Uno en el primer semestre de licenciatura (o incluso a veces en la preparatoria) en la clase de matemáticas aprende lo que es una función. Entre tantas cosas que uno ve sobre funciones es el concepto de función suprayectiva (o sobreyectiva) y de función inversa. En esas clases uno ve que toda función suprayectiva tiene una función inversa. Este último enunciado es equivalente al axioma de elección.

Axioma de elección:
Todo conjunto X de conjuntos no vacíos tiene una función de elección, es decir, una función que elige un elemento de cada elemento de X.

¿Qué quiere decir todo esto? Piensen que tienen muchos conjuntos (posiblemente una cantidad infinita), el axioma de elección permite formar un conjunto con un elemento de cada uno de esos conjuntos. La siguiente imagen intenta ilustrar la situación:

Una función de elección.

En la parte de arriba hay muchos conjuntos a los cuales se sacó una función de elección. El cuadro de abajo representa el conjunto que consta de tomar un elemento de cada conjunto, este conjunto es el que da el axioma de elección.

Esto, aunque resulte bastante natural para algunas personas, tiene consecuencias que van en contra de la intuición:

Una de estas consecuencias es un teorema el cual se conoce como la paradoja de Banach-Tarski. Este nos dice que podemos partir una esfera completamente llena en 8 pedazos, y luego mover esos 8 pedazos para formar dos esferas completamente llenas. Dos esferas llenas.

Teorema de Banach-Tarski.

Los pedazos realmente no tienen la forma que la imagen muestra. Sin embargo pensar que el axioma de Elección, o que toda función suprayectiva tenga inversa implíquen este resultado que va totalmente en contra de la intuición sugiere que hay algo mal.

¿Cómo es posible que yo pueda partir una esfera para formar dos igualitas? ¿Cómo es posible que el volumen cambie?

La palabra clave en esa última pregunta es el volumen (OK lo admito, los engañé con el título). Resulta que algunos de estos pedazos en los que se parte la esfera NO pueden ser medidos, es decir, no tienen un volumen bien definido. Así que aquí esta toda la trampa: Hay conjuntos “chicos” (como por ejemplo algunos pedazos de esfera) que no pueden ser medidos.

Otros resultados del axioma de elección:
-El producto cartesiano de conjuntos no vacíos es no vacío.
-Todo espacio vectorial tiene una base.
-Dos conjuntos tienen el mismo número de elementos o uno tiene mas elementos que otro.
-Todo conjunto puede ser bien ordenado (sea lo que signifique esta cosa, hablaré de esto en otro artículo).

En fin, sólo quería mostrarles que aveces los resultados que parecen intuitivos tienen consecuencias bastante extrañas.

PD: En el siguiente artículo se publicará las soluciones de las pruebas de 0=1 y del acertijo de Rumpelstiltskin.

¿Puedes ver que pasos son los incorrectos? Estas van en orden creciente de dificultad.

Prueba no. 1:

Supongamos que .

Multiplicando b en ambos lados tenemos que .

Restando de ambos lados tenemos que .

Factorizando de un lado por a y de otro lado con diferencia de cuadrados tenemos que

Cancelando b – a de ambos lados de la ecuacion se tiene que

Por lo que sustituyendo a por 1 se tiene que o equivalentemente 1=0.

Prueba 2.

Equivalentemente 1=0.

Prueba 3.

Sea x un número entero distinto de cero.

Entonces tenemos que (x veces)

Por tanto derivando en ambos lados de la ecuación se tiene que (x veces)

Por tanto .

Cancelando las x de ambos lados tenemos que 2 = 1 o equivalentemente 1 = 0.

Prueba no. 4:

Considere .

Se resolvera esta integral por partes. Ya que se propone a , y por tanto .

Entonces ya que la regla de integral por partes nos dice que , entonces tenemos que
.
Es decir que . Cancelando de ambos lados se tiene que 0 = -1, o equivalentemente 1=0.

¿Por qué estas ‘demostraciones’ están mal?

Hace mucho tiempo yo era un niño pequeño e inocente. Probablemente estaba en el jardín de niños cuando empecé a aprender a contar cosas.

-¿Cuántos cuadrados hay en el pizarrón? dice la maestra,

-Uno, dos ¡Tres! le respondo mientras observo el pizarrón y los dedos de mi mano derecha.

Probablemente, al igual que yo, ustedes aprendieron a contar usando sus dedos. Lo que me lleva a la siguiente foto:¿Cuántas sandias hay en la foto anterior?

-Cuatro

¿Por qué cuatro?

-Pues sólo basta contarlas para que uno se de cuenta:

El propósito de todo esto no es exhibir lo bien que me fué académicamente en el Kinder, sino enfatizar el concepto de contar.

¿Qué significa contar? ¿Cómo decidimos cuántos elementos tiene un conjunto?

Para eso primero introduciré a los números naturales como conjuntos:

El cero simplemente será el conjunto vacío:

Y el uno será el conjunto cuyo elemento es el cero, el dos será el conjunto cuyos elementos son el uno y el cero, y así sucesivamente:

…

Observen que el 0 no tiene elementos, el 1 tiene 1 elemento, el 2 tiene 2 elementos, y así sucesivamente. Entonces ya podemos responder a la pregunta de ¿Cómo decidir cúantos elementos tiene un conjunto?.

Diremos que un conjunto X tiene n elementos si existe una regla que asocia  cada elemento de X con exactamente un elemento de n visto como conjunto, y cada elemento de n, bajo la misma regla, esta asociado con exactamente un elemento de X (o para quien ya conoce el lenguaje de funciones, se dice que un conjunto tiene n elementos si existe una función biyectiva de X a n). Veamos un ejemplo:

Considera el conjunto {A,B,C,D}. Para ver que este conjunto tiene 4 elementos tenemos que encontrar una regla que asocie a los elementos de {A,B,C,D} con el 4 (que es el conjunto {0,1,2,3}). Entonces la siguiente regla:

Al 0 lo asocio con A.
Al 1 lo asocio con B.
Al 2 lo asocio con C.
Al 3 lo asocio con D.

Es una regla que asocia a cada elemento de {a,b,c,d} un elemento del 4 y cada elemento del 4 esta asociado exactamente con un elemento de {A,B,C,D}. Entonces este conjunto si tiene 4 elementos.

La definición que se dió arriba es muy similar a como contabamos en el kinder, pues si teniamos que contar algun conjunto de cosas lo que haciamos era asignar a cada dedo de las manos un elemento de dicho conjunto y hasta que terminabamos podiamos decir seguramente cuantas cosas tenia ese conjunto. Así que uno puede clasificar a todas las cosas por el número de elementos que tiene.

Lo que me lleva a la parte interesante del artículo ¿Cómo demonios clasificar a los conjuntos infinitos, como los números naturales, o los números racionales?

Pues resulta que hay un “conjunto de números” los cuales nos clasifican a los conjuntos por su cantidad de elementos. Este “conjunto de números” son los números cardinales. Con estos números podemos responder la otra pregunta pendiente ¿Qué significa contar? Significa encontrar un número cardinal con la misma cantidad de elementos.

El primero de los números cardinales infinitos es (se lee alef cero) el cuál representa el tamaño de los números naturales (el conjunto {0,1,2,3,…} ). El conjunto de los números enteros (es decir el que incluye a los negativos, o {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}) tiene elementos que no están en los números naturales (por ejemplo, el -1 no es un número natural) sin embargo los dos tienen el mismo tamaño, pues yo puedo dar una regla de asociación:

…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…	Este representa a los números enteros
…	8	6	4	2	0	1	3	5	7	…	Este representa a los números naturales

Dicho de otra manera, a los enteros positivos los asigné a los números impares y a los negativos los asigné a los números pares.

Gracias a esto ya tenemos que el número cardinal que le corresponde a los números enteros también es . También resulta que el número cardinal de los números racionales es . Veamos lo que pasa con los números reales (o mas bien con el intervalo ).

¿Qué es lo que pasa si yo doy una regla de asociación de los numeros naturales al ? Pues dicha regla tendría la siguiente forma:

y asi sucesivamente, donde es el 0,1,2,3,4,5,6,7,8 o el 9.

Ahora si yo hago que entonces el número no está en esa regla de asociación (pues este número difiere almenos en un decimal de cada uno de los de la regla).

Entonces lo que tenemos es que si yo doy una regla de asociación de los naturales al , siempre habrá un número que se escape de dicha regla, por lo que hemos descubierto dos cosas: Que hay infinitos de distinto tamaño y que tenemos que el tamaño de los números reales es mas grande estrictamente que el de los números naturales. El primero en darse cuenta de esto fue Georg Cantor.

¿Existirá un conjunto cuyo tamaño sea estrictamente mayor que el de los naturales, pero que sea estrictamente menor que el de los reales? El pobre de Cantor se volvió loco intentando responder esta pregunta. La respuesta es sepalachingada, pues resulta que Gödel y Cohen demostraron que “la lógica y matemáticas” no pueden probar que dicho conjunto exista o que no exista.

En resumen aprendimos dos cosas: Hay infinitos mas grandes que otros y hay cosas que ni la lógica ni matemáticas pueden demostrar. Espero pronto escribir un artículo sobre lo segundo.