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Solución a los problemas.

October 26th, 2009 — 9:57pm

Las soluciones a las malas demostraciones:

Prueba 1:

“Cancelando b – a de ambos lados de la ecuacion” : Notese que como a=b, entonces b-a=0. Cancelar en este caso quiere decir dividir b-a en ambos lados, es decir, dividir entre cero, lo que no es posible.

Prueba 2:

“ $\sqrt{-1\times-1}=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}$ ” : Esta es un poco más truculenta. Resulta que en los negativos no es posible partir la raíz de esa forma

Prueba 3:

“ $x^2 = x + x + \ldots + x$ (x veces)” : En los naturales esa ecuación si es cierta. Sin embargo, como funciones, la función de la derecha y la de la izquierda son distintas. La función de la derecha ni siquiera es derivable (pues sólo esta definida en los naturales) así que no es posible tomar su derivada.

Prueba 4:

Hay dos maneras de ver a la integral: Como antiderivada y como área bajo la curva de la gráfica.

Caso de la integral como antiderivada:

En este caso tanto $\int f(x)$ como $\int f(x) + c$ representa un conjunto de soluciones y no un número. Por lo que cancelar integrales carece de sentido.

Caso de la integral como área:

En este caso hay que cambiar todas las $\int$ por $\int_a^y$ . Entonces, el 1 que aparece al final, en realidad es $1 |_a^y = 1 - 1 = 0$ .

Realmente la solución de estos problemas es muy “técnica” por lo que evite detallarla mucho, en realidad sólo di la idea de por que estan mal.

Solución al problema de Rumpelstiltskin.

Un resumen del problema:

Hipótesis: Rumpelstiltskin sólo dice la verdad el mes de su cumpleaños.

Estas cuatro frases fueron dichas consecutivamente:

1) “No cumplo años en marzo, tampoco cumplo años en junio y tampoco cumplo años diciembre”.
2) “Estamos en julio o en septiembre o en noviembre”.
3) “Mi cumpleaños no es en febrero, tampoco es en agosto y tampoco es en octubre”.
4) “Estamos en enero, o en abril o en mayo”.

Vamos a ver que pasa en cada mes:

Supongamos que el cumpleaños es en enero.

Entonces como sólo un mes se cumple años se tiene que la frase 1) o la 3) (pues estas fueron dichas en 2 meses distintos) son falsas.
Que 1) sea falsa significa que o cumple años en marzo, o cumple en junio, o cumple en diciembre. Esto es una contradicción, pues supusimos que cumplía años en enero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a enero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Veamos que suponer 3) falsa es un simple copypasta de la frase anterior:
Que 3) sea falsa significa que o cumple años en febrero, o cumple en agosto, o cumple en octubre. Esto es una contradicción, pues supusimos que cumplía años en enero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a enero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Este argumento es bastante poderoso, pues podemos aplicar este mismo argumento a los meses de abril, mayo, julio, septiembre y noviembre (es decir los meses que no son mencionados ni en 1) ni en 3)) y obtendremos exactamente la misma contradicción.

Asi que ¿Qué pasa en febrero?

Si cuando dice 1) no es febrero, entonces 1) son puras mentiras, lo que quiere decir que o cumple años en marzo, o cumple en junio, o cumple en diciembre. Esto es una contradicción, pues supusimos que cumplía años en febrero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a febrero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Por tanto 1) debe ser dicho en febrero. Pero entonces 4) cae en mayo (pues fueron dichos en meses consecutivos), lo que implíca que también dice la verdad en mayo. Que diga la verdad en dos meses distintos es una contradicción, pues la hipótesis decía que Rumpelstiltskin sólo diría la verdad el mes que fuera su cumpleaños.

¿Qué pasa si suponemos que cumple años en marzo?

Del mismo modo, si cuando dice 3) no es en marzo, quiere decir que 3) son puras mentiras. Que 3) sea falsa significa que o cumple años en febrero, o cumple en agosto, o cumple en octubre. Esto es una contradicción, pues supusimos que cumplía años en marzo, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a marzo, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Lo que implíca que 3) tiene que ser dicho en marzo. Pero entonces 4) es abril y por tanto en 4) dice la verdad. Entonces hay dos meses en donde Rumpelstiltskin dice la verdad (marzo y abril) lo que es una contradicción.

Ya sabemos que ni abril ni mayo pueden ser.

¿Qué pasa en junio?

Del mismo modo que las anteriores, el enunciado 3) tiene que haber sido dicho en junio. Uno ve que la combinación que 3) haya sido dicha en junio es consistente, por lo que uno se vería tentado a responder junio como respuesta. Sin embargo hay que revisar que en todos los demás meses hay una contradicción.

Ya sabemos que julio no puede ser.

¿Qué pasa en agosto?

Por el argumento por el cual he hecho copypasta muchísimas veces, resulta que 1) tiene que ser dicho en agosto. Pero entonces 2) cae en septiembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Ya sabemos que septiembre no puede ser.

¿Qué pasa en octubre?

Del mismo modo, resulta que 1) tiene que ser dicho en octubre. Pero entonces 2) cae en noviembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Ya sabemos que noviembre tampoco puede ser.

¿Qué pasa en diciembre?

Por el mismo argumento repetido muchas veces, se tiene que 3) debe ser dicho en diciembre. Pero entonces 2) cae en noviembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Entonces ya vimos que en todos los meses, menos junio, hay contradicción. También vimos que en junio no hay contradicciones si suponemos 3). Por lo tanto, la respuesta correcta es junio.

Comment » | Lógica, Matemáticas

4 “demostraciones” de que 0=1.

October 2nd, 2009 — 8:54pm

¿Puedes ver que pasos son los incorrectos? Estas van en orden creciente de dificultad.

Prueba no. 1:

Supongamos que $a = b = 1$ .

Multiplicando b en ambos lados tenemos que $ab = b^2$ .

Restando $a^2$ de ambos lados tenemos que $ab - a^2 = b^2 - a^2$ .

Factorizando de un lado por a y de otro lado con diferencia de cuadrados tenemos que $a(b-a) =(b+a)(b-a)$

Cancelando b – a de ambos lados de la ecuacion se tiene que $a = b + a$

Por lo que sustituyendo a $a, b$ por 1 se tiene que $1 = 1 + 1 = 2$ o equivalentemente 1=0.

Prueba 2.

$1 = \sqrt{1} = \sqrt{-1 \times -1} =\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = i \times i = -1$
Equivalentemente 1=0.

Prueba 3.

Sea x un número entero distinto de cero.

Entonces tenemos que $x^2 = x + x + x + \ldots + x$ (x veces)

Por tanto derivando en ambos lados de la ecuación se tiene que $2x = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1$ (x veces)

Por tanto $2x = x$ .

Cancelando las x de ambos lados tenemos que 2 = 1 o equivalentemente 1 = 0.

Prueba no. 4:

Considere $\int tg(x) dx$ .

Se resolvera esta integral por partes. Ya que $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ se propone a $u=\frac{1}{cos(x)}, dv=sin(x)dx$ , y por tanto $du = \frac{sin(x)}{cos(x)^2}dx, v=-cos(x)$ .

Entonces ya que la regla de integral por partes nos dice que $\int udv = uv - \int vdu$ , entonces tenemos que $\int tg(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx = -cos(x) \frac{1}{cos(x)} - \int (-cos(x)\frac{sin(x)}{cos(x)^2}dx) =$
$= -1 + \int tg(x)dx$ .
Es decir que $\int tg(x)dx = -1 + \int tg(x)dx$ . Cancelando $\int tg(x)dx$ de ambos lados se tiene que 0 = -1, o equivalentemente 1=0.