Las soluciones a las malas demostraciones:

Prueba 1:

“Cancelando b – a de ambos lados de la ecuacion” : Notese que como a=b, entonces b-a=0. Cancelar en este caso quiere decir dividir b-a en ambos lados, es decir, dividir entre cero, lo que no es posible.

Prueba 2:

“” : Esta es un poco más truculenta. Resulta que en los negativos no es posible partir la raíz de esa forma

Prueba 3:

“ (x veces)” : En los naturales esa ecuación si es cierta. Sin embargo, como funciones, la función de la derecha y la de la izquierda son distintas. La función de la derecha ni siquiera es derivable (pues sólo esta definida en los naturales) así que no es posible tomar su derivada.

Prueba 4:

Hay dos maneras de ver a la integral: Como antiderivada y como área bajo la curva de la gráfica.

Caso de la integral como antiderivada:

En este caso tanto como  representa un conjunto de soluciones y no un número. Por lo que cancelar integrales carece de sentido.

Caso de la integral como área:

En este caso hay que cambiar todas las por . Entonces, el 1 que aparece al final, en realidad es .

Realmente la solución de estos problemas es muy “técnica” por lo que evite detallarla mucho, en realidad sólo di la idea de por que estan mal.

Solución al problema de Rumpelstiltskin.

Un resumen del problema:

Hipótesis: Rumpelstiltskin sólo dice la verdad el mes de su cumpleaños.

Estas cuatro frases fueron dichas consecutivamente:

1) “No cumplo años en marzo, tampoco cumplo años en  junio y tampoco cumplo años diciembre”.
2) “Estamos en  julio o en septiembre o en noviembre”.
3) “Mi cumpleaños no es en febrero, tampoco es en agosto y tampoco es en octubre”.
4) “Estamos en enero, o en abril o en mayo”.

Vamos a ver que pasa en cada mes:

Supongamos que el cumpleaños es en enero.

Entonces como sólo un mes se cumple años se tiene que la frase 1) o la 3) (pues estas fueron dichas en 2 meses distintos) son falsas.
Que 1) sea falsa significa que o cumple años en marzo, o cumple en junio, o cumple en diciembre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en enero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a enero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Veamos que suponer 3) falsa es un simple copypasta de la frase anterior:
Que 3) sea falsa significa que o cumple años en febrero, o cumple en agosto, o cumple en octubre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en enero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a enero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Este argumento es bastante poderoso, pues podemos aplicar este mismo argumento a los meses de abril, mayo, julio, septiembre y noviembre (es decir los meses que no son mencionados ni en 1) ni en 3)) y obtendremos exactamente la misma contradicción.

Asi que ¿Qué pasa en febrero?

Si cuando dice 1) no es febrero, entonces 1) son puras mentiras, lo que quiere decir que o cumple años en marzo, o cumple en junio, o cumple en diciembre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en febrero, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a febrero, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Por tanto 1) debe ser dicho en febrero. Pero entonces 4) cae en mayo (pues fueron dichos en meses consecutivos), lo que implíca que también dice la verdad en mayo. Que diga la verdad en dos meses distintos es una contradicción, pues la hipótesis decía que Rumpelstiltskin sólo diría la verdad el mes que fuera su cumpleaños.

¿Qué pasa si suponemos que cumple años en marzo?

Del mismo modo, si cuando dice 3) no es en marzo, quiere decir que 3) son puras mentiras. Que 3) sea falsa significa que o cumple años en febrero, o cumple en agosto, o cumple en octubre. Esto es  una contradicción, pues supusimos que cumplía años en marzo, y encontramos que también cumple años en al menos uno de esos meses, los cuales son todos distintos a marzo, lo que dice que hay dos meses en los cuales Rumpelstiltskin cumple años, lo que es contradictorio.

Lo que implíca que 3) tiene que ser dicho en marzo. Pero entonces 4) es abril y por tanto en 4) dice la verdad. Entonces hay dos meses en donde Rumpelstiltskin dice la verdad (marzo y abril) lo que es una contradicción.

Ya sabemos que ni abril ni mayo pueden ser.

¿Qué pasa en junio?

Del mismo modo que las anteriores, el enunciado 3) tiene que haber sido dicho en junio. Uno ve que la combinación que 3) haya sido dicha en junio es consistente, por lo que uno se vería tentado a responder junio como respuesta. Sin embargo hay que revisar que en todos los demás meses hay una contradicción.

Ya sabemos que julio no puede ser.

¿Qué pasa en agosto?

Por el argumento por el cual he hecho copypasta muchísimas veces, resulta que 1) tiene que ser dicho en agosto. Pero entonces 2) cae en septiembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Ya sabemos que septiembre no puede ser.

¿Qué pasa en octubre?

Del mismo modo, resulta que 1) tiene que ser dicho en octubre. Pero entonces 2) cae en noviembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Ya sabemos que noviembre tampoco puede ser.

¿Qué pasa en diciembre?

Por el mismo argumento repetido muchas veces, se tiene que 3) debe ser dicho en diciembre. Pero entonces 2) cae en noviembre, por lo que hay dos meses distintos en donde se dice la verdad, lo que es una contradicción.

Entonces ya vimos que en todos los meses, menos junio, hay contradicción. También vimos que en junio no hay contradicciones si suponemos 3). Por lo tanto, la respuesta correcta es junio.

Uno en el primer semestre de licenciatura (o incluso a veces en la preparatoria) en la clase de matemáticas aprende lo que es una función. Entre tantas cosas que uno ve sobre funciones es el concepto de función suprayectiva (o sobreyectiva) y de función inversa. En esas clases uno ve que toda función suprayectiva tiene una función inversa. Este último enunciado es equivalente al axioma de elección.

Axioma de elección:
Todo conjunto X de conjuntos no vacíos tiene una función de elección, es decir, una función que elige un elemento de cada elemento de X.

¿Qué quiere decir todo esto? Piensen que tienen muchos conjuntos (posiblemente una cantidad infinita), el axioma de elección permite formar un conjunto con un elemento de cada uno de esos conjuntos. La siguiente imagen intenta ilustrar la situación:

En la parte de arriba hay muchos conjuntos a los cuales se sacó una función de elección. El cuadro de abajo representa el conjunto que consta de tomar un elemento de cada conjunto, este conjunto es el que da el axioma de elección.

Esto, aunque resulte bastante natural para algunas personas, tiene consecuencias que van en contra de la intuición:

Una de estas consecuencias es un teorema el cual se conoce como la paradoja de Banach-Tarski. Este nos dice que podemos partir una esfera completamente llena en 8 pedazos, y luego mover esos 8 pedazos para formar dos esferas completamente llenas. Dos esferas llenas.

Los pedazos realmente no tienen la forma que la imagen muestra. Sin embargo pensar que el axioma de Elección, o que toda función suprayectiva tenga inversa implíquen este resultado que va totalmente en contra de la intuición sugiere que hay algo mal.

¿Cómo es posible que yo pueda partir una esfera para formar dos igualitas? ¿Cómo es posible que el volumen cambie?

La palabra clave en esa última pregunta es el volumen (OK lo admito, los engañé con el título). Resulta que algunos de estos pedazos en los que se parte la esfera NO pueden ser medidos, es decir, no tienen un volumen bien definido. Así que aquí esta toda la trampa: Hay conjuntos “chicos” (como por ejemplo algunos pedazos de esfera) que no pueden ser medidos.

Otros resultados del axioma de elección:
-El producto cartesiano de conjuntos no vacíos es no vacío.
-Todo espacio vectorial tiene una base.
-Dos conjuntos tienen el mismo número de elementos o uno tiene mas elementos que otro.
-Todo conjunto puede ser bien ordenado (sea lo que signifique esta cosa, hablaré de esto en otro artículo).

En fin, sólo quería mostrarles que aveces los resultados que parecen intuitivos tienen consecuencias bastante extrañas.

PD: En el siguiente artículo se publicará las soluciones de las pruebas de 0=1 y del acertijo de Rumpelstiltskin.

Rumpelstiltskin ya estaba cansado de que las mugrosas princesas le atinaran a su nombre, pero el deseo de obtener un bebé para sus fines malévolos se incrementaban cada dia. Así que se le ocurrió un acertijo, el cuál consistia en decirle 1 verdad o 1 mentira cada mes durante un año; si la princesa le atinaba al mes de su cumpleaños, entonces rumpelstiltskin dejaría a su primogénito en paz, si no, se lo llevaría por siempre.

Un dia, Rumpelstiltskin engañó a una princesa  y rumpelstiltskin le dijo:

-Mira, te daré una pista, el único mes en donde diré la verdad será el mes cuando cumpla años.

Al dia siguiente, Rumpelstiltskin empezó con el acertijo.

Los meses pasaron y exactamente un año después, Rumpelstiltskin le dijo a la princesa:

-Para mañana quiero que me digas que mes es mi cumpleaños, o de lo contrario me llevaré a tu primogénito.

Pero dado que la princesa es bastante lenta, con mala memoria y encima no sabe ni en que mes vive, sólo recuerda las últimas 4 frases (en orden) que le dijo el enano ese.

1) “No cumplo años en marzo, tampoco cumplo años en  junio y tampoco cumplo años diciembre”.
2) “Estamos en  julio o en septiembre o en noviembre”.
3) “Mi cumpleaños no es en febrero, tampoco es en agosto y tampoco es en octubre”.
4) “Estamos en enero, o en abril o en mayo”.

Sin embargo, sólamente con esta información, el Rey, que no era lento como su hija, pudo contestarle correctamente a Rumpelstiltskin, por lo que perdió la apuesta y de nuevo se quedó sin bebe con quien jugar.

¿Tu sabes en que mes cumple años Rumpelstiltskin?

EDIT: ADISKULPEN ASTEDES ES KE NO ZE ESKRIBIR VIEN

EDIT 2: Para arreglar mi error daré un premio al primero que responda correctamente (argumentando bien): Una copia digial (y por supuesto legal) del juego de World of Goo.