Una función suprayectiva

Uno en el primer semestre de licenciatura (o incluso a veces en la preparatoria) en la clase de matemáticas aprende lo que es una función. Entre tantas cosas que uno ve sobre funciones es el concepto de función suprayectiva (o sobreyectiva) y de función inversa. En esas clases uno ve que toda función suprayectiva tiene una función inversa. Este último enunciado es equivalente al axioma de elección.

Axioma de elección:
Todo conjunto X de conjuntos no vacíos tiene una función de elección, es decir, una función que elige un elemento de cada elemento de X.

¿Qué quiere decir todo esto? Piensen que tienen muchos conjuntos (posiblemente una cantidad infinita), el axioma de elección permite formar un conjunto con un elemento de cada uno de esos conjuntos. La siguiente imagen intenta ilustrar la situación:

Una función de elección.

En la parte de arriba hay muchos conjuntos a los cuales se sacó una función de elección. El cuadro de abajo representa el conjunto que consta de tomar un elemento de cada conjunto, este conjunto es el que da el axioma de elección.

Esto, aunque resulte bastante natural para algunas personas, tiene consecuencias que van en contra de la intuición:

Una de estas consecuencias es un teorema el cual se conoce como la paradoja de Banach-Tarski. Este nos dice que podemos partir una esfera completamente llena en 8 pedazos, y luego mover esos 8 pedazos para formar dos esferas completamente llenas. Dos esferas llenas.

Teorema de Banach-Tarski.

Los pedazos realmente no tienen la forma que la imagen muestra. Sin embargo pensar que el axioma de Elección, o que toda función suprayectiva tenga inversa implíquen este resultado que va totalmente en contra de la intuición sugiere que hay algo mal.

¿Cómo es posible que yo pueda partir una esfera para formar dos igualitas? ¿Cómo es posible que el volumen cambie?

La palabra clave en esa última pregunta es el volumen (OK lo admito, los engañé con el título). Resulta que algunos de estos pedazos en los que se parte la esfera NO pueden ser medidos, es decir, no tienen un volumen bien definido. Así que aquí esta toda la trampa: Hay conjuntos “chicos” (como por ejemplo algunos pedazos de esfera) que no pueden ser medidos.

Otros resultados del axioma de elección:
-El producto cartesiano de conjuntos no vacíos es no vacío.
-Todo espacio vectorial tiene una base.
-Dos conjuntos tienen el mismo número de elementos o uno tiene mas elementos que otro.
-Todo conjunto puede ser bien ordenado (sea lo que signifique esta cosa, hablaré de esto en otro artículo).

En fin, sólo quería mostrarles que aveces los resultados que parecen intuitivos tienen consecuencias bastante extrañas.

PD: En el siguiente artículo se publicará las soluciones de las pruebas de 0=1 y del acertijo de Rumpelstiltskin.